Transformations de Jacobi-Dunkl et applications - Chouchene, Frej

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Résumé :
On consid?re sur la droite r?elle, un op?rateur diff?rentiel et aux diff?rences appel? op?rateur de Jacobi-Dunkl. Cet op?rateur, comme les autres de type Dunkl, joue un r?le important dans la description, en m?canique quantique, des mod?les exactement r?solubles de Calogero-Morse-Sutherland. Sa fonction propre admet une repr?sentation int?grale de Laplace dont le noyau permet de d?finir les op?rateurs de transmutation de Jacobi-Dunkl qu'on montre qu'ils sont positifs. Ensuite, on ?tablit pour la transformation de Jacobi-Dunkl, des formules d'inversion et un th?or?me de Paley-Wiener. En utilisant les propri?t?s des op?rateurs de transmutation et les estimations du noyau de la chaleur, on obtient une version des th?or?mes de Cowling-Price et de Hardy pour la transformation de Jacobi-Dunkl. Dans le cas d'un intervalle born?, on montre que la fonction propre, ?gale ? 1 en z?ro, de l'op?rateur de Jacobi-Dunkl est un polyn?me trigonom?trique, li? aux polyn?mes de Jacobi. Puis, on donne une repr?sentation int?grale de Laplace de cette fonction appel?e polyn?me de Jacobi-Dunkl. Enfin, on ?tudie l'analyse harmonique associ?e ? cet op?rateur.

Biographie:
Frej CHOUCHENE is a past aggregate professor. He taught at the universities of Monastir and Sousse, mathematics at all levels of the licence and the preparatory cycle. He is also the author of several scientific works related to harmonic analysis and published in specialized journals....

Sommaire:
On consid?re sur la droite r?elle, un op?rateur diff?rentiel et aux diff?rences appel? op?rateur de Jacobi-Dunkl. Cet op?rateur, comme les autres de type Dunkl, joue un r?le important dans la description, en m?canique quantique, des mod?les exactement r?solubles de Calogero-Morse-Sutherland. Sa fonction propre admet une repr?sentation int?grale de Laplace dont le noyau permet de d?finir les op?rateurs de transmutation de Jacobi-Dunkl qu'on montre qu'ils sont positifs. Ensuite, on ?tablit pour la transformation de Jacobi-Dunkl, des formules d'inversion et un th?or?me de Paley-Wiener. En utilisant les propri?t?s des op?rateurs de transmutation et les estimations du noyau de la chaleur, on obtient une version des th?or?mes de Cowling-Price et de Hardy pour la transformation de Jacobi-Dunkl. Dans le cas d'un intervalle born?, on montre que la fonction propre, ?gale ? 1 en z?ro, de l'op?rateur de Jacobi-Dunkl est un polyn?me trigonom?trique, li? aux polyn?mes de Jacobi. Puis, on donne une repr?sentation int?grale de Laplace de cette fonction appel?e polyn?me de Jacobi-Dunkl. Enfin, on ?tudie l'analyse harmonique associ?e ? cet op?rateur....