Parkettierungen der Ebene - Ehrhard Behrends

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Résumé :
Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die K?nstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Ber?hmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des holl?ndischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei f?hrt die Visualisierung der mathematischen Zusammenh?nge zu sehr ansprechenden Bildern. Drei Ans?tze werden in diesem Buch beschrieben. In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene M?glichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten Ebenen Kristallgruppen. Erg?nzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden k?nnen: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung k?nstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann. Bei den entsprechenden Untersuchungen f?r die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das f?hrt in die Theorie der Gruppen von M?biustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie. Schlie?lich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden.