Topologie und Analysis - B. Booss

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Résumé :
I. Operatoren mit Index.- 1. Fredholmoperatoren. Hierarchie mathematischer Objekte. Begriff des Fredholmoperators.- 2. Algebraische Eigenschaften. Operatoren von endlichem Rang. Das Schlangenlemma:. Operatoren von endlichem Rang und die Fredholmsche Integralgleichung.- 3. Analytische Methoden. Kompakte Operatoren. Analytische Methoden. Der adjungierte Operator. Kompakte Operatoren. Die klassischen Integraloperatoren.- 4. Die Fredholmalternative. Das Rieszsche Lemma. Das Sturm-Liouvillesche Randwertproblem.- 5. Die Haupts?tze. Die Calkinalgebra. St?rungstheorie. Homotopieinvarianz des Index.- 6. Familien von invertierbaren Operatoren. Satz von Kuiper. Homotopien von operatorwertigen Funktionen. Der Satz von Kuiper.- 7. Familien von Fredholmoperatoren. Indexb?ndel. Die Topologie von F. Die Konstruktion des Indexb?ndels. Der Satz von Atiyah-J?nich. Homotopie und unit?re ?quivalenz.- 8. Fourierreihen und -integrale (Zusammenstellung der Grundbegriffe). Fourierreihen. Fourierintegral. H?herdimensionale Fourierintegrale.- 9. Wiener-Hopf-Operatoren. Das Beispielreservoir f?r Fredholmoperatoren. Herkunft und prinzipielle Bedeutung der Wiener-Hopf-Operatoren. Die Kennlinie eines Wiener-Hopf-Operators. Wiener-Hopf-Operatoren und harmonische Analyse. Die diskrete Indexformel. Der Systemfall. Kontinuierliches Analogon.- II. Analysis auf Mannigfaltigkeiten.- 1. Partielle Differentialgleichungen. Lineare partielle Differentialgleichungen. Elliptische Differentialgleichungen. Wo kommen elliptische Differentialgleichungen vor. Randwertbedingungen. Hauptfragen der Analysis und das Indexproblem. Numerische Aspekte. Elementare Beispiele.- 2. Differential Operatoren ?ber Mannigfaltigkeiten. Motivation. Ltifferenzierbare Mannigfaltigkeiten - Grundbegriffe. Geometrie derC?-Abbildungen. Integration auf Mannigfaltigkeiten. Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Berandete Mannigfaltigkeiten.- 3. Pseudodifferentialoperatoren. Motivation. Kanonische Pseudodifferentialoperatoren. Pseudodifferentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. N?herungsrechnung f?r Pseudodifferentialoperatoren.- 4. Sobolewr?ume (Steilkurs). Motivation. Definition. Die Haupts?tze ?ber Sobolewr?ume. Fallstudien.- 5. Elliptische Operatoren ?ber geschlossenen Mannigfaltigkeiten. Stetigkeit von Pseudodifferentialoperatoren. Elliptische Operatoren.- 6. Elliptische Randwertsysteme I (Differentialoperatoren). Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Systeme von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Variable Koeffizienten.- 7. Elliptische Differential Operatoren 1. Ordnung mit Randbedingungen. Die topologische Bedeutung von Randwertbedingungen (Fallstudie). Verallgemeinerungen (heuristisch).- 8. Elliptische Randwertsysteme II (?berblick). Das Poissonprinzip. Die Greensche Algebra. Der elliptische Fall.- III. Die Atiyah-Singer-Indexformel.- 1. Einf?hrung in die algebraische Topologie (K-Theorie). Umlaufzahlen. Die Topologie der allgemeinen linearen Gruppe. Der Ring der Vektorraumb?ndel. K-Theorie mit kompaktem Tr?ger. Beweis des Periodizit?tssatzes von R. Bott.- 2. Die Indexformel im euklidischen Fall. Indexformel und Bottperiodizit?t. Das Differenzb?ndel eines elliptischen Operators. Die Indexformel.- 3. Die Indexformel f?r geschlossene Mannigfaltigkeiten. Die Indexformel. Vergleich der Beweise: Der Kobordismus-Beweis. Vergleich der Beweise: Der Einbettungsbeweis. Vergleich der Beweise: Der W?rmeleitungsbeweis.- 4. Anwendungen (?bersicht). Kohomologische Fassung der Indexformel. Der Systemfall (triviale B?ndel). Beispielef?r verschwindenden Index. Eulerzahl und Signatur. Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten. Abelsche Integrale und Riemannsche Fl?chen. Der Satz von Riemann-Roch-tiirzebruch. Der Index elliptischer Randwertprobleme. Reelle Operatoren. Die Lefsche...