Selecta Mathematica IV - Jacobs, K.

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Résumé :
Von jeher haben vViederkehrerscheinungen das Interesse nachdenk? licher Leute gefunden und insbesondere mathematische Untersuchungen angeregt. Periodisches Z?hlen verbinden wir mit der Regelm??igkeit eines Rhythmus, Translationsgruppen mit der Wiederkehr in Fries? mustern, und die Uml?ufe der Planeten verlangten Newton die Erfin? dung der Infinitesimalrechnung ab. Es geht aber nicht nur darum, beobachtete Wiederkehr in mathematischen Modellen nachzuzeichnen, sondern auch um die grunds?tzliche Frage: Warum mu? Wiederkehr sein? Genauer: Welche Eigenschaften eines mathematischen Modells erzwingen das Auftreten von Wiederkehrerscheinungen ? Die Antwort der Mathematik auf diese Frage sind die sog. vVieder? kehrs?tze, von denen wir die wichtigsten in diesem Band in typischer Gestalt, wenn auch nicht immer in gr??tm?glicher Allgemeinheit vor? stellen. Sie lassen sich nach der Art der zugrunde gelegten Strukturen unterscheiden. Arbeitet man mit rein topologischen Mitteln, so befindet man sich in der sog. topologischen Dynamik, der unser erster Beitrag gilt. Der hier bewiesene Wiederkehrsatz 3.9 st?tzt sich vor allem auf die Kom? paktheit des zugrunde liegenden Raums und zeigt die Existenz fast? periodischer Bewegungen. Starre Bewegungen eines speziellen Kompaktums, n?mlich der Kreislinie (oder allgemeiner: eines Torus), sowie einen strengeren Fast? periodizit?tsbegriff untersucht der zweite Beitrag ?ber Gleichverteilung mod 1, in dem wir Weyls ber?hmten Satz beweisen, und den Leser auch etwas in die Mittelwerttheorie der fastperioiischen Funktionen ein? f?hren.

Sommaire:
Einige Grundbegriffe der topologischen Dynamik.- ? 1. Einf?hrung.- ? 2. Ein einfacher Spezialfall.- ? 3. Fastperiodische Punkte und minimal-invariante Teilmengen.- ? 4. Ein Beispiel: der Satz von Kronecker.- ? 5. Minimal-invariante Teilmengen und fastperiodische Punkte im shift-Raum.- ? 6. Anziehungszentren.- ? 7. Anziehungszentren im shift-Raum.- Literatur.- Poincar?s Wiederkehrsatz.- ? 1. Grundbegriffe der Ma?theorie.- ? 2. Dynamische Systeme.- ? 3. Der Wiederkehrsatz von Poincar?.- ? 4. Der Wiederkehrsatz von Kac.- ? 5. Die topologisierte Form des Poincar?schen Wiederkehrsatzes.- Literatur.- Gleichverteilung mod 1.- ? 1. Drehungen des Einheitskreises.- ? 2. Der Satz von Kronecker.- ? 3. Mittelwerte stetiger Funktionen auf dem Einheitskreis.- ? 4. Mittelwerte Riemann-integrabler Funktionen.- ? 5. Interpretation mod 1.- ? 6. Drehungen auf dem r-dimensionalen Tonus.- ? 7. Kritik an den bisherigen Methoden.- ? 8. Gleichverteilung und Heiratssatz.- ? 9. Das Haarsche Ma? auf kompakten Gruppen.- Literatur.- Markov-Prozesse mit endlichvielen Zust?nden.- ? 1. Stochastische Matrizen und Abbildungen.- ? 2. Das asymptotische Verhalten Markovscher Prozesse: Vorstudien.- ? 3. Die Methode der invarianten Mengen.- ? 4. Die Methode der kompakten Halbgruppen.- ? 5. Die Methode der Einheitswurzeln.- Literatur.- Konjunkturschwankungen.- ? 1. Einleitung.- ? 2. Das Spinnwebmodell.- ? 3. Multiplikator und Accelerationsprinzip.- ? 4. Ein spieltheoretisches Modell.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.