Grenzen der Mathematik - Dirk W. Hoffmann

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Auteur(s) : Dirk W. Hoffmann

Editeur : Springer-Verlag Gmbh

Langue : Allemand

Parution : 01/02/2013

Format : Moyen, de 350g à 1kg

Expédition : 900

Dimensions : 22.6 x 15.5 x 2.3

ISBN : 3642347193

Résumé :

Ist die Mathematik frei von Widerspr?chen? Gibt es Wahrheiten jenseits des Beweisbaren? Ist es m?glich, unser mathematisches Wissen in eine einzige Zahl hineinzucodieren?

Die moderne mathematische Logik des zwanzigsten Jahrhunderts gibt verbl?ffende Antworten auf solche Fragen.

Das vorliegende Buch entf?hrt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik, hin zu den Grenzen der Mathematik. Unter anderem werden die folgenden Themen behandelt: Geschichte der mathematischen Logik, formale Systeme, axiomatische Zahlentheorie und Mengenlehre, Beweistheorie, die G?del'schen Unvollst?ndigkeitss?tze, Berechenbarkeitstheorie, algorithmische Informationstheorie, Modelltheorie.

Das Buch enth?lt zahlreiche zweifarbige Abbildungen und mehr als 70 Aufgaben (mit L?sungen auf der Website zum Buch).

F?r die zweite Auflage wurde das Kapitel 'Beweistheorie' thematisch um das Diagonalisierungslemma, den Satz von Tarski, das Berry-Paradoxon sowie den Satz von L?b erweitert.

Biographie:

Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakult?t f?r Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe - Technik und Wirtschaft. Von ihm ist im gleichen Verlag das Werk Die G?del'schen Unvollst?ndigkeitss?tze - Eine gef?hrte Reise durch Kurt G?dels historischen Beweis erschienen.

Sommaire:

Vorwort,-?1 Historische Notizen.- 1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit.- 1.2 Der Weg zur modernen Mathematik.- 1.2.1 R?tsel des Kontinuums.- 1.2.2 Auf den Spuren der Unendlichkeit.- 1.2.3 Macht der Symbole.- 1.2.4 Aufbruch in ein neues Jahrhundert

1.2.5 Grundlagenkrise

1.2.6 Axiomatische Mengenlehre

1.2.7 Hilberts Programm und G?dels Beitrag

1.2.8 Grenzen der Berechenbarkeit

1.2.9 Auferstanden aus Ruinen

1.3 ?bungsaufgaben

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2 Formale Systeme

2.1 Definition und Eigenschaften

2.2 Entscheidungsverfahren

2.3 Aussagenlogik

2.3.1 Syntax und Semantik

2.3.2 Aussagenlogischer Kalk?l

2.4 Pr?dikatenlogik erster Stufe

2.4.1 Syntax und Semantik

2.4.2 Pr?dikatenlogischer Kalk?l

2.5 Pr?dikatenlogik mit Gleichheit

2.6 Pr?dikatenlogik h?herer Stufe

2.6.1 Syntax und Semantik

2.6.2 Henkin-Interpretation

2.7 ?bungsaufgaben

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3 Fundamente der Mathematik

3.1 Peano-Arithmetik

3.1.1 Syntax

3.1.2 Semantik

3.1.3 Axiome und Schlussregeln

3.2 Axiomatische Mengenlehre

3.2.1 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

3.2.1.1 ZF-Axiome

3.2.1.2 Das Auswahlaxiom

3.2.1.3 Mengenlehre als Fundament der Mathematik

3.2.1.4 Einbettung der nat?rlichen Zahlen

3.2.2 Ordinalzahlen

3.2.2.1 Definition und Eigenschaften

3.2.2.2 Der Unendlichkeit entgegen

3.2.2.3 Ordnungstypen und Wohlordnungen

3.2.2.4 Transfinite Induktion

3.2.3 Kardinalzahlen

3.3 ?bungsaufgaben

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4 Beweistheorie

4.1 G?del'sche Unvollst?ndigkeitss?tze

4.2 Der erste Unvollst?ndigkeitssatz

4.2.1 Arithmetisierung der Syntax

4.2.2 Primitiv-rekursive Funktionen

4.2.3 Arithmetische Repr?sentierbarkeit

4.2.4 G?dels Diagonalargument

4.2.5 Rossers Beitrag

4.3 Der zweite Unvollst?ndigkeitssatz

4.4 G?dels S?tze richtig verstehen

4.5 Satz von Goodstein

4.6 ?bungsaufgaben

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5 Berechenbarkeitstheorie

5.1 Berechnungsmodelle

5.1.1 Turing-Maschinen

5.1.1.1 Erweiterungen des Basismodells

5.1.1.2 Alternative Beschreibungsformen

5.1.1.3 Universelle Turing-Maschine

5.1.2 Registermaschinen

5.2 Church'sche These

5.3 Grenzen der Berechenbarkeit

5.3.1 Halteproblem

5.3.2 Satz von Rice

5.4 Folgen f?r die Mathematik

5.4.1 Unentscheidbarkeit der PL1

5.4.2 Unvollst?ndigkeit der Arithmetik

5.4.3 Hilberts zehntes Problem

5.4.3.1 Diophantische Repr?sentierbarkeit

5.4.3.2 Codierung von Registermaschinen

5.5 ?bungsaufgaben

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6 Algorithmische Informationstheorie

6.1 Algorithmische Komplexit?t

6.2 Die Chaitin'sche Konstante

6.3 Unvollst?ndigkeit formaler Systeme

6.4 ?bungsaufgaben

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7 Modelltheorie

7.1 Meta-Resultate zur Pr?dikatenlogik

7.1.1 Modellexistenzsatz

7.1.2 Kompaktheitssatz

7.1.3 Satz von L?wenheim-Skolem

7.2 Nichtstandardmodelle von PA

7.2.1 Abz?hlbare Nichtstandardmodelle

7.2.2 ?berabz?hlbare Nichtstandardmodelle

7.3 Skolem-Paradoxon

7.4 Boole'sche Modelle

7.4.1 Definition und Eigenschaften

7.4.2 Ein einfacher Unabh?ngigkeitsbeweis

7.5 ?bungsaufgaben

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Literaturverzeichnis

Namensverzeichnis

Stimmen zur 1. Auflage:

Das vorliegende Buch entf?hrt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik. Es ist eine Reise voller ?berraschungen, hin zu den Grenzen der Mathematik.??

Spektrum der Wissenschaft

Das Buch von Dirk W. Hoffmann hat mir ausgesprochen gut gefallen. Der Schreibstil des Autors - stets auf Verst?ndlichkeit bedacht - die vielen historischen Bez?ge, die wohldurchdachte Aufmachung des Buches mit seinen vielen Bildern, Beispielen und Merkk?sten und nicht zuletzt die jedem Kapitel beigegebenen Aufgaben machen das Buch zu einer Perle.

Mathematischer Semesterbericht

Das 409 Seiten starke Buch ich eine gelungene Einf?hrung in mathematische Logik. Es stellt einen guten ?berblick ?ber die wesentlichen Erkenntnisse und die Grundlagen der Mathematik dar und beginnt - im ersten Kapitel - mit einem historischen ?berblick vom Ende des 19. Jahrhunderts an, der durchaus nicht nur bei der ersten Besch?ftigung mit dem Thema sehr lesenswert ist. ?

Matheplanet.com

...ein sehr empfehlenswertes Buch...

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