Números e Polinômios de Bernoulli: - Luiz Mirkoski, Maikon

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Résumé :
Nesta disserta??o tivemos como objetivo explorar algumas das conex?es mais importantes entre os n?meros e os polin?mios de Bernoulli e as fun??es zeta, gama e teta. De forma mais detalhada, no cap?tulo 2 introduzimos os polin?mios de Bernoulli mostrando que s?o os ?nicos polin?mios que satisfazem tr?s condi??es simples. J? os n?meros de Bernoulli foram de?nidos como sendo os valores em x = 0 dos correspondentes polinomios de Bernoulli. A seguir mostramos como a sequ?ncia dos n?meros de Bernoulli pode ser obtida de maneira recursiva. Por ?m ilustramos esse resultado calculando os primeiros n?meros de Bernoulli. No cap?tulo 3 calculamos as s?ries de Fourier para os polin?mios de Bernoulli no intervalo [0,1]. A seguir de?nimos a func?o zeta de Riemann e provamos a equa??o de Euler que relaciona esta func?o com os n?meros primos. Por ?m, utilizamos as s?ries de Fourier obtidas anteriormente para expressar o valor da func?o zeta nos pares positivos em termos de numeros de Bernoulli. No cap?tulo 4 estudamos s?rie de pot?ncia que geram os n?meros e os polin?mios de Bernoulli....